Родилась 31 июля 1934 г. в Вязниках. Там же окончила семь классов школы № 7 и поступила в Вязниковский льняной техникум (сейчас – Вязниковский технико-экономический колледж).
Работала на ткацкой фабрике «Свободный пролетарий» в Вязниках, которая позднее была переименована в Вязниковский льняной комбинат.
В конце 1960-х гг. в текстильной отрасли возникла потребность в увеличении темпов производства. Тогда нормой было обслуживание 6 станков. Римма Гаврилова включилась в соревнование за увеличение количества обслуживаемых машин и приступила к работе на 10 станках. В начале 1971 г. ткачиха выдвинула лозунг «Пятилетку в три с половиной года!». В это время она работала уже на 14 станках. За выдающиеся успехи в отрасли она стала победителем Всесоюзного социалистического соревнования среди работников текстильной промышленности и получила звание «Лучшая ткачиха СССР». 16 января 1974 г. указом Президиума Верховного Совета СССР Римме Александровне было присвоено звание Героя Социалистического труда с вручением Золотой Звезды.
В 1976 г. инициативная группа ткачих во главе с Риммой Александровной выдвинула новый лозунг «Две пятилетки – за одну!». Ткачихи стали обслуживать по 15-16 станков и перевыполнили план в два раза. В 1977 г. Постановлением ЦК КПСС и Совета Министров СССР Гавриловой была присуждена Государственная премия.
Римма Александровна вела активную общественную жизнь, была депутатом в городе Вязники, а затем депутатом областного Совета депутатов. Она добилась строительства насосно-фильтровальной станции и телефонной станции в Вязниках. С 1979 г. по 1989 г. была депутатом Верховного Совета СССР, членом Президиума Верховного Совета СССР. В 1989 г. вышла на пенсию.
Она – обладательница двух орденов Ленина, Ордена Октябрьской Революции и Ордена Трудового Красного Знамени. В 1975 г. Гавриловой Римме Александровне было присвоено звание «Почетный гражданин города Вязники».
24 марта 2009 г. решением Совета народных депутатов города Вязники одна из городских улиц микрорайона «Восточный» была переименована в улицу «Риммы Гавриловой».
В годы десятой пятилетки (1976—1980) обслуживала 16 ткацких станков и выполнила план двух пятилеток.
9 июня 1966 года за успехи в работе была награждена «Знаком Почета».